ENIGMÓDROMO

7 casas

Um homem tinha sete casas,
Cada casa tinha sete gatos,
Para cada gato havia sete ratos,
Para cada rato havia sete espigas de trigo,
E cada espiga tinha sete medidas de grão.
Quantas coisas ele possuía (Casas, gatos, ratos, espigas e medidas de grão)?

Este problema foi traduzido pelo matemático norueguês Oystein Ore, a partir de um papiro egipcio do sec XVI a.c. que fazia alusão a um inventário, e julga-se que seja a primeira versão de um outro bastante conhecido - "A caminho de St Ives" - que na sua versão original em inglês é apresentado num poema infantil.

As I was going to St. Ives,
I met a man with seven wives;
Every wife had seven sacks,
Every sack had seven cats,
Every cat had seven kits.
Kits, cats, sacks, and wives,
How many were going to St. Ives?

(Para ler a resposta, continua a ler o ENIGMA)

casas 7
gatos 49
ratos 343
espigas de trigo 2401
medidas de grão 16807

Total= 19607

Teorema das 4 cores

Hoje a UE vê acontecer o maior alargamento desde a sua fundação. Dez novos estados [Polónia, Hungria, República Checa, Eslováquia, Eslovénia, Lituânia, Letónia, Estónia, Chipre e Malta] juntam-se aos actuais 15 estados-membros.
O mapa fica muito maior. Será que por isso são necessárias mais cores para o colorir?

Quatro cores bastaram (e pode ser de leitura confusa por causa das fronteiras maritimas). A resposta a esta questão é o Teorema das Quatro cores.
Quando em 1852 o matemático Francis Guthrie coloria um mapa com os condados de Inglaterra, percebeu que precisaria apenas de 4 cores para garantir que dois condados vizinhos nunca teriam a mesma cor. Seria isto verdade para qualquer mapa real ou imaginário? Nascia aqui o teorema das 4 cores.
Passaram mais de 100 anos para que se conseguisse demonstrar o Teorema. Foi em 1976 que os matemáticos Appel e Haken conseguiram um feito histórico, provando pala primeira vez um grande teorema com recurso a meios informáticos. As provas demasiado complexas foram naturalmente muito controversas. Era impossível prová-lo sem a ajuda dos computadores.
Em 1994, os matemáticos Paul Seymour, Neil Robertson, Daniel Sanders e Robin Thomas conseguiram prová-lo de uma forma mais simplificada, mas o uso de computadores continuou a ser indispensável.
Em 1 de Abril de 1975, antes destes factos, Martin Gardner concebeu e apresentou um mapa, com 110 regiões e dizia serem necessárias 5 cores para o colorir. O mapa era demasiado complexo mas não passava de uma brincadeira de 1 de abril :-) .
Alguém conseguirá colori-lo com apenas 4 cores? (Disponível na entrada estendida).
E serão capazes de encontra um mapa real ou imaginário para o qual sejam necessárias mais de 4 cores, sendo a regra fundamental de que duas áreas com uma fronteira comum não tenham a mesma cor?
Nota: Não se entende por fronteira um ponto apenas.

O mapa de Martin Gardner para tentarem colorir com apenas 4 cores.

Palíndromo Romano

O ponto de partida para o enigma que hoje apresento é um curioso enigma da época Romana e de uma enorme complexidade a julgar pelas teorias que se têm encontrado para o explicar.
O enigma em causa apresenta-se sobre a forma de um palíndromo de cinco palavras sobrepostas, de cinco letras cada, formando um quadrado e podendo desta forma ser lidas com sentido a partir da esquerda, da direita, de cima e de baixo.
A frase em latim "Sator Arepo tenet opera rotas", traduz-se num português corrente para "O semeador Arepo segura as rodas no seu trabalho".
O desafio que vos lanço, é que encontrem um políndromo de cinco palavras de cinco letras cada, em português, semalhante ao enigma romano. Os ENIGMÓLOGOS vindos de Espanha podem resolve-lo em castelhano. :-)

Para saberem mais pormenores sobre o enigmático políndromo romano, sugiro que passem pelo blog do Marcos Osório e que leiam o 178. versus recurrentes publicado a 2004|02|16...

(Para ler a resposta, continua a ler o ENIGMA)

É MUITO dificil... penso que está aqui para durar :-)

Cinco casas

Em cinco casas com cinco cores diferentes, moram cinco pessoas de diferentes nacionalidades, que bebem 5 bebidas diferentes, fumam cinco diferentes marcas de tabaco e têm cinco diferentes animais de estimação:

1. O Inglês vive na casa vermelha;
2. O Sueco tem um cão como animal de estimação;
3. O dinamarquês bebe chá;
4. A casa verde tem como vizinha à direira (de quem olha) a casa branca;
5. O homem que vive na casa verde bebe café;
6. A pessoa que fuma Pall Mall cria pássaros;
7. O homem que vive na casa amarela fuma Dunhill;
8. O homem que vive na casa do centro bebe leite;
9. O Norueguês vive na primeira casa;
10. O homem que fuma Blends vive ao lado do que tem gatos;
11. O homem que cria cavalos vive ao lado do que fuma Dunhill;
12. O homem que fuma Bluemaster bebe cerveja;
13. O Alemão fuma Prince;
14. O Norueguês vive ao lado da casa azul;
15. O homem que fuma Blends é vizinho do que bebe água.

Quem tem um peixe como animal de estimação?

(Diz-se que este problema foi elaborado por Einstein, tendo afirmado então que apenas 2% da população mundial o conseguiria resolver.)

Nota: quem pretender o ficheiro EXE que facilita a resoluçção do problema, pode solicita-lo por e-mail ou fazer o download AQUI (O samuel teve a amabilidade de o alojar).

(Para ler a resposta, continua a ler o ENIGMA)

Vale mesmo a pena que tentem resolver o enigma e que descobram sozinhos de quem é o peixe :)

Monty Hall

O paradoxo de Monty Hall surgiu de um concurso televisivo norte-americano - Let’s Make a Deal.
O jogo consiste no seguinte: Monty Hall apresenta 3 portas aos concorrentes, sabendo que atrás de uma delas existe um carro e que as outras não têm nenhum prémio.
1 - Na 1ª etapa o concorrente escolhe uma porta;
2 - De seguida Monty abre uma das outras duas portas que o concorrente não escolheu, sabendo à partida que o carro não se encontra aí;
3 - Agora com duas portas apenas, e sabendo que o carro está atrás de uma delas, o concorrente tem que se decidir se permanece com a porta que escolheu no início do jogo ou se muda para a outra porta que ainda está fechada.

Qual é a estratégia mais lógica? Ficar com a porta escolhida inicialmente ou mudar de porta? Com qual das duas portas ainda fechadas o concorrente tem mais probabilidades de ganhar? Porquê?

(Para ler a resposta, continua a ler o ENIGMA)

Realmente não é assim tão indiferente mudar ou ficar na mesma porta.
À partida quando se escolheu uma das portas havia 1/3 de probabilidade de ganhar o carro. Não existe razão nenhuma para essa probabilidade mudar após o Monty Hall ter aberto uma das portas que não era premiada. As outras duas portas não escolhidas tinham em conjunto 2/3 de probabilidade de ocultarem o carro, e quando uma dessa portas é aberta (por não ter prémio) a porta não escolhida que continua fechada passa a ter 2/3 de probabilidade de ser a porta do carro.

Dificil de entender? vejam este exemplo.

Imaginem que em vez de 3 portas eram 1000 portas. O Monty Hall pede que se escolha uma porta. Neste momento há 1/1000 de probabilidades de ganhar o carro. De seguida, e à semelhança do que se fez com as 3 portas, ele abre, de entre as 999 restantes, 998 portas que estão vazias. Ficam duas protas abertas: a porta escolhida pelo concorrente e a porta que o MH não abriu. Haverá alguma razão para estas duas portas terem 50% de probabilidade cada uma de conter o carro? Claro que não. Quando se escolheu a porta, não eram duas portas mas 1000, e é com base nesse momento de escolha que é estabelecida a propabilidade de 1/1000 de se ganhar o carro. Se as restantes portas em conjunto tinham 999/1000 de probabilidades, a partir do momento que foram abertas 998 portas não premidas, a porta não escolhida que continuou fechada passou a deter 999/1000 de probabilidade de ter o carro.

Não sou matemático :) mas eu mudava de porta.

E voçês?

As 7 pontes de Königsberg

O enigma das 7 PONTES DE KÖNIGSBERG data do sec XVIII, tendo merecido a atenção do matemático Leonard Euler (1707/1783), e na sequência disso dado origem à teoria dos grafos... :-)
Não se assustem. Matemáticas à parte, aquilo que se pretende é uma coisa muito simples.
O desafio consiste em encontrar se existe ou não um caminho que percorra todas as sete pontes, passando por elas uma única vez.

Hoje a cidade russa, localizada junto ao mar Báltico denomina-se de Kalininegrad. As pontes que atravessa o rio já não são as mesmas ou foram relocalizadas, no entento o enigma resistiu ao tempo...

(Para ler a resposta, continua a ler o ENIGMA)

Não existe uma solução para o problema.
Leonard Euler estudou-o e em 1736 publicou um trabalho explicando o porquê com a teoria dos grafos.

Ficam aqui alguns links para os mais interessados:
http://www.mat.uc.pt/~alma/escolas/pontes/
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Miscellaneous/Konigsberg.html