março 26, 2004
Monty Hall
O paradoxo de Monty Hall surgiu de um concurso televisivo norte-americano - Let’s Make a Deal.
O jogo consiste no seguinte: Monty Hall apresenta 3 portas aos concorrentes, sabendo que atrás de uma delas existe um carro e que as outras não têm nenhum prémio.
1 - Na 1ª etapa o concorrente escolhe uma porta;
2 - De seguida Monty abre uma das outras duas portas que o concorrente não escolheu, sabendo à partida que o carro não se encontra aí;
3 - Agora com duas portas apenas, e sabendo que o carro está atrás de uma delas, o concorrente tem que se decidir se permanece com a porta que escolheu no início do jogo ou se muda para a outra porta que ainda está fechada.
Qual é a estratégia mais lógica? Ficar com a porta escolhida inicialmente ou mudar de porta? Com qual das duas portas ainda fechadas o concorrente tem mais probabilidades de ganhar? Porquê?
(Para ler a resposta, continua a ler o ENIGMA)
Realmente não é assim tão indiferente mudar ou ficar na mesma porta.
À partida quando se escolheu uma das portas havia 1/3 de probabilidade de ganhar o carro. Não existe razão nenhuma para essa probabilidade mudar após o Monty Hall ter aberto uma das portas que não era premiada. As outras duas portas não escolhidas tinham em conjunto 2/3 de probabilidade de ocultarem o carro, e quando uma dessa portas é aberta (por não ter prémio) a porta não escolhida que continua fechada passa a ter 2/3 de probabilidade de ser a porta do carro.
Dificil de entender? vejam este exemplo.
Imaginem que em vez de 3 portas eram 1000 portas. O Monty Hall pede que se escolha uma porta. Neste momento há 1/1000 de probabilidades de ganhar o carro. De seguida, e à semelhança do que se fez com as 3 portas, ele abre, de entre as 999 restantes, 998 portas que estão vazias. Ficam duas protas abertas: a porta escolhida pelo concorrente e a porta que o MH não abriu. Haverá alguma razão para estas duas portas terem 50% de probabilidade cada uma de conter o carro? Claro que não. Quando se escolheu a porta, não eram duas portas mas 1000, e é com base nesse momento de escolha que é estabelecida a propabilidade de 1/1000 de se ganhar o carro. Se as restantes portas em conjunto tinham 999/1000 de probabilidades, a partir do momento que foram abertas 998 portas não premidas, a porta não escolhida que continuou fechada passou a deter 999/1000 de probabilidade de ter o carro.
Não sou matemático :) mas eu mudava de porta.
E voçês?
Publicado por mago em março 26, 2004 09:15 AMMuita gente tenta resolver esse problema usando métodos matemáticos, mas o problema só é formulado após a abertura de uma das portas.
Ora se existem 3 portas e só uma com o carro, e o apresentador elimina uma das portas e pergunta se o jogador quer trocar, o problema resume-se a apenas esse: Duas portas e um carro, cara ou coroa, par ou impar, ou seja 50%.
Mudando de porta as probablidades aumentam.
Pode parecer estranho mas vejamos o seguinte:
- Se a escolha inicial for a porta certa qualquer uma das outras portas pode ser aberta.
- Se a escolha inicial não contiver o prémio terá de ser uma porta não premiada a aberta (isto porque há intervenção humana que sabe como influenciar o jogo i.e. nunca abre a porta com premio).
Para definirmos a probabilidade temos de partir do principio que a estratégia está definida desdo o incio, ou seja o metodo a utilizar foi definido antes do jogo. Assim numa estratégia de não mudar apenas ganhamos se escolhermos bem de incio (1/3) enquanto na estratégia de mudar apenas perdemos nessa mesma hipótse. Ou seja... na estratégia de mudar as hipotses correspondem as de falha inicial... 2/3.
Empiricamente tal pode ser provado com a aplicação dos varios cenarios e vendo o que acontece em cada uma das situações. Levando a estatistica ao extremo isto pode ser simulado por conputador com dois modulos de decisão independentes (um que escolha e outro que abra a porta) aplicando sempre as duas regras (mudança de porta e não mudança) e no infinito (leia-se dezenas de milhares de teste) chegaremos a estes resultados.
Afixado por: Iago Cruz em outubro 14, 2004 11:04 AMMuitas respostas e muito interessantes. Trata-se de um paradoxo e é natural que alguns tenham dificuldade em o entender, pois embora se invoque a "probabilidade" para ser indiferente mudar ou ficar na mesma porta, é precisamente por esse razão que não é assim tão indiferente tomar uma decisão :)
Parabéns ao ITN por ter sido o primeiro, e continuamos à espera da equação prometida pela Candy...
Podes deixar a equação Candy :)
Afixado por: mago em abril 3, 2004 08:25 AME pq estou a ler "O estranho caso do cão morto" sei a resposta.
Se kiseres a ekação tb te dou mas a resposta é: Se mudar recebe um carro 2 em cada 3 vezes. E, se ñ mudar, só recebe um carro1 em cada 3 vezes.
Beijo.
Afixado por: Candy em abril 2, 2004 11:47 PMÉ melhor trocar. As probabilidades de o carro estar atrás da porta que não foi escolhida é maior do que estar na nossa. Porquê? Porque se à partida nós tinhamos 1/3 de probabilidades de nos calhar, continuamos a ter. E as outras duas portas juntas tÊm 2/3. Ora se uma das portas foi eliminada, a porta que resta mantém os 2/3 das probabilidades de conter o carro...
Afixado por: wERQUID em março 28, 2004 11:47 PMO famoso matemático Paul Erdos também acreditava que as probabilidades eram de 50/50. Só ao ver simulações é que alterou a sua posição :)
Afixado por: ssn em março 28, 2004 05:44 PMeh completamente indiferente alterar ou nao a porta escolhida pois a probabilidade de um acontecimento ocorrer eh o resultado do numero de casos em analise sobre o numero total de hipoteses... logo apos ser eliminada uma porta, a probabilidade de o premio se encontrar atras de cada uma das portas eh de 50% para cada porta
Jajajaj. Se ve que eres una persona valiente...
En todos los foros y listas de correo donde se propuso este problema, ¡terminaron todos peleados! y, que yo sepa, nadie jamás logró convencer a todos para que entendieran la solución correcta.
¡Suerte!
Afixado por: Markelo em março 27, 2004 01:57 AMAs probabilidades são exactamente as mesmas...
Afixado por: Allein em março 26, 2004 01:57 PMYo creo que es indiferente.
Hubiera sido lo mismo empezar con dos puertas nada mas.
Entende-se perfeitamente Itn. Volta sempre :)
Afixado por: mago em março 26, 2004 12:40 PMHola mago, vengo de "pequeños enigmas" por eso escribo en español, espero que no te importe.
En este caso yo cambiaría de puerta, ya que cuando elegí había más posibilidades (2/3) de que el carro estuviera en las otras dos que en la mía.
¿se entiende?